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式・比・比例

式は、場面や数量の関係を、数や記号を使って短く表したものです。1年生の「3 + 2 = 5」も、りっぱな式です。2年生から3年生にかけて、わからない数を□で表すようになり、6年生ではその□がxやaなどの文字になります。中学校の数学で習う方程式（ほうていしき）への入り口です。

比例や比は、2つの量がともなって変わるようすを調べ、くらべる学習です。学習指導要領では、4年生から「変化と関係」という領域にまとめられ、ともなって変わる量、5年生の単位量あたりの大きさや速さ、割合、そして6年生の比と比例・反比例へとつながっていきます。このページでは、式の学習と「変化と関係」をまとめて紹介します。

学年ごとに学ぶこと

学校の算数は、文部科学省の小学校学習指導要領（2017年告示、2020年度から全面実施）にそって進みます。式の学習は1年生から少しずつ積み重ねられ、比例や割合は4年生からの「変化と関係」で本格的に学びます。単元の順番や時期は、教科書によって少し違います。

大切な考え方

1. 「＝」は「左と右が同じ大きさ」

3 + 4 = 7 を「3たす4は7」と読むので、子どもは「＝」を「答えはこれ」という合図だと思いがちです。3 + 4 = 7 ならそれでもうまくいきますが、7 = 3 + 4 や 6 + □ = 4 + 5 のような式になると、とまどってしまいます。「＝」は、てんびんのように左と右がつり合っているしるしです。4 + 5 は9なので、6 + □ も9にならなければいけません。だから□は3です。

2. わからない数を□にして、場面を式に表す

「どんぐりを何こか持っていました。公園で15こ拾ったので、全部で40こになりました。はじめに何こ持っていたでしょう。」3年生では、わからない数を□にして、お話の順番どおりに □ + 15 = 40 と式に表します。□を求めるときに役に立つのがテープ図です。

テープ図を見ると、□は全体の40から15をひいた残りだとわかります。40 − 15 = 25 で、はじめは25こ。お話は「拾った（ふえた）」なのに、□を求める計算はひき算になるのがポイントです。同じように、□ × 4 = 32 なら、わり算で 32 ÷ 4 = 8 と求めます。答えが出たら□に入れて、25 + 15 = 40、8 × 4 = 32 と式が正しくなるかをたしかめます。

3. 計算の順序と公式（4年生）

4年生では、いくつかの計算がまじった式の計算の順序を学びます。きまりは3つです。ふつうは左から順に計算する。かけ算・わり算は、たし算・ひき算より先に計算する。（ ）があるときは、（ ）の中を先に計算する。

「500円玉を出して、1さつ120円のノートを2さつ買いました。おつりはいくらでしょう。」これを1つの式にすると 500 − 120 × 2 です。かけ算を先にして 500 − 240 = 260 で、おつりは260円。左から順に 500 − 120 = 380、380 × 2 = 760 と計算してしまうと、出したお金よりおつりのほうが多くなってしまいます。また、1こ80円のりんごと1こ40円のみかんを1組にして3組買うなら、(80 + 40) × 3 = 360 で360円。（ ）が「1組分」というまとまりを表しています。

言葉や記号を使って、いつでも使える形にまとめた式を公式といいます。たとえば「長方形の面積 = たて × 横」。たて4 cm、横7 cmの長方形なら、4 × 7 = 28 で28 cm²です。5年生では三角形や平行四辺形の面積、6年生では円の面積（半径 × 半径 × 3.14）の公式を学びます。

4. ともなって変わる2つの量と、比例・反比例

4年生では、一方が変わるともう一方も変わる、ともなって変わる2つの量を調べます。たとえば、正方形の1辺の長さと、まわりの長さ。表にすると、きまりが見えてきます。

横に見ても、たてに見ても、きまりがあります。たてのきまりを式にすると「1辺の長さ × 4 = まわりの長さ」。この式があれば、表にない1辺10 cmのときも、10 × 4 = 40 で40 cmと、すぐに見通せます。6年生では、文字を使って y = 4 × x と書きます。

このように、一方が2倍、3倍…になると、もう一方も2倍、3倍…になる関係を比例といいます。5年生で簡単な場合を学び、6年生では「y = きまった数 × x」という式や、0の点を通る直線のグラフで表します。水そうに毎分3 Lずつ水を入れるとき、5分で15 L、10分で30 L入るのも比例です。1日に12ページずつ本を読むときの、読んだ日数とページ数（5日で60ページ、10日で120ページ）も比例です。

6年生では、一方が2倍、3倍…になると、もう一方が2分の1（½）、3分の1（⅓）…になる反比例も学びます。面積が24 cm²の長方形なら、たてが1 cmのとき横は24 cm、2 cmのとき12 cm、3 cmのとき8 cm。たて × 横 はいつも24です。

5. 文字を使った式（6年生）

6年生では、□や△のかわりにxやaなどの文字を使います。「同じ長さのテープを4本つなぐと60 cmになりました。1本の長さは何cmでしょう。」1本の長さをx cmとすると、x × 4 = 60。xは 60 ÷ 4 = 15 で、1本は15 cmです。

文字は、いろいろな数の代わりにもなります。1本x円のえんぴつを5本買ったときの代金は x × 5（円）。xが80なら 80 × 5 = 400 で400円、xが100なら500円です。1つの式で、どんなねだんの場合もまとめて表せるのが、文字を使うよさです。なお、小学校では x × 5 のように「×」を書きますが、中学校では 5x と書くようになります。x × 4 = 60 のような式を決まった手順で解く方程式は、中学1年生で学びます。

6. くらべ方を考える：割合、単位量あたり、速さ

4年生では、差ではなく「何倍か」でくらべる考え方に出会います。ゴムAは20 cmが60 cmまで、ゴムBは10 cmが40 cmまでのびました。のびた長さはAが40 cm、Bが30 cmですが、もとの長さの何倍になったかで見ると、Aは 60 ÷ 20 = 3 で3倍、Bは 40 ÷ 10 = 4 で4倍。よくのびるのはBです。この見方が、5年生の割合と百分率につながります（くわしくは小数と割合で紹介しています）。

5年生の単位量あたりの大きさは、「1つあたり」にそろえてくらべる考え方です。ノート3さつで360円のセットと、5さつで550円のセット。1さつあたりにすると、360 ÷ 3 = 120 で120円、550 ÷ 5 = 110 で110円なので、5さつのセットのほうが1さつ10円安くなります。人口密度（1 km²あたりの人数）も同じ考え方です。

速さは、1時間や1分など、決まった時間あたりに進む道のりで、「速さ = 道のり ÷ 時間」で求めます。はるとさんが家から駅までの960 mを12分で歩いたとすると、960 ÷ 12 = 80 で分速80 m。1時間（60分）では 80 × 60 = 4800 m 進むので、時速4.8 kmです。

7. 比で表す、比で分ける（6年生）

酢（す）を大さじ2、油を大さじ3の割合でまぜてドレッシングをつくるとき、酢と油の量の割合を「2：3」と書き、「2たい3」と読みます。これが比です。2 ÷ 3 = ⅔ を比の値といいます。2：3、4：6、6：9 は、どれも比の値が⅔で、同じ味になります。このような比を等しい比といい、両方の数に同じ数をかけても、同じ数でわってもつくれます。酢を50 mL使うなら、50は2の25倍なので、油も3の25倍で75 mLです。

では、同じ味のドレッシングを全部で200 mLつくるには、酢と油を何mLずつまぜればよいでしょう。ここでもテープ図が活やくします。

酢が2つ分、油が3つ分なので、全体は5つ分。1つ分は 200 ÷ 5 = 40 で40 mL。酢は 40 × 2 = 80 mL、油は 40 × 3 = 120 mLです。80 + 120 = 200、80：120 の両方を40でわると2：3にもどるので、答えが正しいことがたしかめられます。

比は、料理の分量を変えるときにも使えます。4人分のカレーを6人分にするなら、人数の比は 4：6 = 2：3。いったん2人分（÷ 2）にしてから3倍（× 3）すると、数がきれいなままで計算できます。

6年生の拡大図・縮図も同じしくみです。2倍の拡大図では、すべての辺の長さが2倍になり、角の大きさは変わりません。たて3 cm、横5 cmの長方形の2倍の拡大図は、たて6 cm、横10 cmになります。

つまずきやすいところ

• 「＝」を「答えは」だと思う：4 + 5 = □ + 2 の□に、9と書いてしまう（正しくは7）。
• □を求める計算をまちがえる：□ − 9 = 7 で、9 − 7 = 2 としてしまう。□は「9をひくと7になる数」なので、7 + 9 = 16 です。
• 計算の順序を守らない：100 − 30 × 2 を左から計算して140としてしまう。かけ算が先なので、100 − 60 = 40 です。
• 比と全体の割合を取りちがえる：酢：油 = 2：3 のとき、酢は全体の⅔だと思ってしまう。全体の5つ分のうちの2つ分なので、⅖（5分の2）です。
• 分量を「たし算」でふやす：4人分を6人分にするとき、どの材料にも2ずつたしてしまう。人数が1.5倍になるので、材料もすべて1.5倍にします。
• なんでも比例だと思う：Tシャツ1枚が2時間でかわくなら、3枚いっしょに干しても6時間かかるわけではありません。年れいと身長も比例しません。

家でできる5分の遊び

• コップの下はいくつ？おはじきやあめ玉を10こ出して、何こかをコップでかくし、かくれた数を当ててもらいます。「見えているのは6こだから、コップの下は4こ」。全部の数を15こ、20こにふやせば、上の学年でも楽しめます。
• ある数あてクイズ。「ある数に5をたしたら12になりました。ある数は？」（答えは7）。慣れてきたら、お子さまに問題を出してもらいましょう。「ある数を3倍して2をたしたら20」（答えは6）のような2段階の問題もおすすめです。
• きまり当てゲーム。お子さまが数を言い、おうちの方は心の中で「2倍して1をたす」計算をして、答えだけを言います。3なら7、5なら11。どんなきまりか、先に見つけたほうの勝ちです。言った数と答えを表にメモすると、きまりが見つけやすくなります。
• めんつゆの比。ラベルに「めんつゆ1：水3」と書いてあったら、全部で400 mLつくるには何mLずつ？　全体は4つ分なので1つ分は100 mL。めんつゆ100 mL、水300 mLです。料理のたびに、分量を2倍や半分にする計算もいっしょにしてみましょう。
• 歩く速さをはかろう。家から公園やコンビニまで歩いた時間をはかり、地図で道のりを調べて、分速を計算します。800 mを10分なら分速80 m。走ったときや自転車のときともくらべてみると、速さのちがいが実感できます。

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